Georg Cantor, 3 Mart 1845 senesinde St. Petersburg’ta dünyaya geldi. Babası Georg Waldemar Cantor, Danimarka kökenli bir tüccardı ve St. Petersburg borsasında simsarlık yapıyordu. Annesi Maria Anna Cantor ise Avusturya kökenliydi ve kabiliyetli bir müzisyendi.
1 yıl sonra babası ölünce Almanya’ya döndü ve Berlin Üniversitesi’ne yazıldı. Burada, zamanın büyük matematikçileri Ernst Eduard Kummer, Karl Weierstrass ve Leopold Kronecker’den dersler aldı. 1867’de sayılar kuramı üzerine yazdığı tezini sunarak üniversiteden mezun oldu.
Bir süre Berlin’deki bir kız okulunda öğretmenlik yaptıktan sonra, 1869’da Halle Üniversitesi’nde doçent olarak çalışmaya başladı.
Georg Cantor, Halle Üniversitesi’ndeki meslekdaşı Eduard Heine’nin etkisiyle sayılar kuramından uzaklaşıp analizle alakadar olmaya başladı. 1870’de, bir özelliğin birden fazla trigonometrik seri açılımı olamayacağını ispatlayarak adını açıkladı. Cantor’dan önce, Heine’nin bunun yanında Lejeune Dirichlet, Rudolph Lipschitz ve Bernhard Riemann gibi birden fazla matematikçi bu problemle uğraşmış ama sonuca ulaşamamıştı. 1870-72 içinde Cantor trigonometrik serilere ilişkin bir dizi makale yayımladı, ve 1872’de Sıradışı Profesör unvanını kazandı. Aynı sene yazışmaya başladığı meslekdaşı Richard Dedekind, gerçel sayıları “Dedekind kesitleri” olarak tanımladığı ünlü makalesinde, Cantor’un trigonometrik seri makalelerinden birini referans olarak gösterdi.
Cantor 1873’te rasyonel sayıların doğal sayılarla birebir eşlenebildiğini, bir başka deyişle rasyonel sayıların sayılabilir sonsuzlukta olduğunu ispatladı. Aynı yıl, cebirsel sayıların(yani katsayıları tamsayı olan herhangi bir polinomun kökü olarak yazılabilen gerçel sayıların) da sayılabilir olduğunu ispatladı. 1874’te ise gerçel sayıların tamamının sayılabilirolmadığını gösterdi. Böylelikle gerçel sayıların çok ufak bir kısmının cebirsel olduğu, hemen hemen tamamının aşkın sayılar olduğu yaşandı.
Cantor bundan sonra, boyut sayıları farklı olan kümelerin, mesela bir birim uzunluğundaki (tek boyutlu) bir doğru şarkısıyla bir birimkare alana sahip (iki boyutlu) bir karenin, birebir eşlenip eşlenemeyeceğini araştırmaya başladı. 1877’de bulduğu sonuç bi hayli enteresanydı: Bir birim uzunluğunda bir doğru parçasının üzerindeki noktalar, p boyutlu uzayın tüm noktalarıyla birebir eşleşebiliyordu. Arkadaşı Dedekind’e bu sonuçtan bahsederken “Je le vois, mais je ne le crois pas!” (Görüyorum, ama inanmıyorum!) diye yazdı.
1878’te yazdığı bir makalede, birebir eşleme, sayılabilirlik ve boyut kavramlarına açıklık getirdi. Cantor, kendi fikirlerine açıkça karşı çıkan Kronecker’in muhalefetinden korktuğu için bu makaleyi yayımlanmadan önce geri çekmek istemiş, Dedekind ve Weierstrass’ın desteğiyle bundan vazgeçmişti.
1879 ve 1884 içinde paylaşımı yaptığı altı makaleyle, kümeler kuramının temellerini attı, “sonsuzötesi” (kardinal ve ordinal) sayılar düşüncesini anlattı. Bu makaleleri yayımlayan Mathematische Annalen dergisinin editörleri, aslında büyük bir cesaret örneği sergiliyorlardı, çünkü Cantor’un fikirleri, Kronecker’un başını çektiği bir grup nüfuzlu matematikçi aracılığıyla şiddetle eleştiriliyor ve hatalı bir düşünce şekli olarak yorumlanıyordu. Bu kuvvetli muhalefetin farkında olan Cantor, makalelerinde eleştirilere uzun uzun yanıt vermeye özen gösteriyordu.
Mayıs 1884’te ilk ağır depresyon nöbetini geçiren Cantor, birkaç hafta içinde kendini toparladıysa da matematiğe dönmek için yeterli özgüveni bulamadığından, felsefe ve edebiyatla alakadar olmaya başladı. Sonsuzluk ve kümeler ile ilgili kendi geliştirdiği fikirlerin felsefi ve teolojik sonuçlarıyla ilgileniyor ve bu hususta birden fazla filozofla yazışıyordu. Bu yazışmaların bir kısmını 1888’de yayımladı. Edebiyatta ise Shakespeare’in tiyatro eserlerini inceliyor, bunların aslında William Shakespeare değil Francis Bacon aracılığıyla yazıldığını ispatlamaya çalışıyordu. Shakespeare ve Bacon hususundaki bu garip saplantısından yaşamı boyunca vazgeçmeyecek, bu konuyla alakalı incelemelerinı 1896 ve 1897’de iki kitapçık halinde yayımlayacaktı.
Cantor, son önemli makalesini 1895 ve 1897’de 2 kısım halinde yayımladı. Bu makalede, kümeler kuramıyla alakalı bugün alışık olduğumuz bazı kavramları (altkümeler gibi) tanımlıyor, kardinal ve ordinal aritmetiği tekrar gözden geçiriyordu. Cantor bu makalesinde sürekli olaraklik hipotezinin de bir ispatını sunmak istemiş, ama çok uğraştığı halde ispatı bulamamıştı. (Süreklilik hipotezi, eleman sayısı olarak doğal sayılardan büyük, gerçel sayılardan ufak bir kümenin varolmadığını söyler. Kurt Gödel ve Paul Cohen 20. yüzyılda göstermişlerdir ki, geleneksel kümeler kuramı aksiyomlarından yola çıkılarak bu hipotezin doğruluğu da yanlışlığı da ispatlanamaz.)
Aralık 1899’da en ufak oğlunun ani ölümüyle bir kez daha depresyona girdi ve bir daha asla tam anlamıyla toparlanamadı. Pek çok kez işinden izin alıp çeşitli senatoryumlar da tedavi gören Cantor, bu sancılı zamanında de bir taraftan matematikle uğraşmayı bırakmadı. Deutsche Mathematiker-Vereinigung’un 1903’teki toplantısında, kümeler kuramının paradoksları üzerine bir dizi konuşma yaptı, ve Heidelberg’deki 1904 Uluslararası Matematikçiler Kongresi’ne katıldı.
1911’de İskoçya’daki St. Andrews Üniversitesi’nin 500. kuruluş yıldönümü kutlamalarına davet edilince çok sevindi. Burada, kümeler kuramının yeni yıldızı Bertrand Russell ile tanışmayı bekliyordu, ama sağlık problemleri sebebiyle Almanya’ya erken dönmek zorunda kalınca bu umudu gerçekleşmedi. 1912’de St. Andrews Üniversitesi Cantor’a fahri doktora verdi, fakat Cantor yine sağlık problemleri yüzünden İskoçya’ya gidip doktorasını alamadı.
Cantor 1913’te emekliye ayrıldı, ve I. Dünya Savaşı koşulları yüzünden yoksullik içinde yaşamaya başladı. 1915’te, Halle’de Cantor’un 70. yaşgünü için hedeflenen kutlamalar savaş yüzünden iptal edilince Cantor yaşgününü evinde daha mütevazı koşullarda kutladı. Haziran 1917’de tekrar bir senatoryuma girdi.
